Đề khảo sát HSG Toán 7 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT thành phố Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023- 2024

MÔN TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (4,0 điểm)

1. Tính

16 4 6 7

14 3 4 8 3 .5 3 .5 100 3 49 1 3 .5 3 .5 3 2 36 25 A + + − + + + − =

2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa mãn b c 1 a c 2 a b 3 1 a b c a b c + + + + + − = = = + +

Tính 3 M (2a 8b 4c 13) = + − − . Bài 2. (4,0 điểm)

1. Tìm cặp số nguyên (a, b) thỏa mãn 2 3 2 (a b 2)a 1 a b . + + + = +

2. Tìm x, y, z biết 2 2 2023 x 2 2024 y 3 (6xy z ) 0 − + + + + = .

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Tìm x 0 ≥ để biểu thức x 7 K x 2 + = + nhận giá trị nguyên.

2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng biểu thức

a b c P b c c a a b = + + + + + không thể nhận giá trị nguyên.

Bài 4. (6,0 điểm)

1. Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = BC. Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C, tia phân giác của góc BAM cắt BC ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AM tại E cắt đường thẳng qua C vuông góc với BC tại N. a) Chứng minh rằng AB = AE.

b) Tính  DAN . c) Đặt AB = a. Chứng minh rằng chu vi tam giác DCN bằng 2a. 2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1, M là điểm tùy ý trong trong tam giác.

Chứng minh rằng MA.BC MB.AC MC.AB 4 + + ≥ . Bài 5. (2,0 điểm) Tìm bộ 3 số tự nhiên x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) 2 2 2 3x 54 2y 4z + = +

b) 2 2 2 5x 74 3y 7z + = + c) Q x y z = + + đạt giá trị nhỏ nhất.

----- HẾT----- Họ và tên thí sinh:………………………………………Số báo danh:………………..

1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THÁI BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023- 2024

MÔN TOÁN 7 Bài Câu Néi dung §iÓm

1 (4,0)

1 (2,0)

16 4 6 7

14 3 4 8 100 3 49 1 3 2 36 25 A 3 .5 3 .5 3 .5 3 .5 + − + + − = + +

( ) ( )

6 4 10 3

4 3 10 5 3 .5 3 5 10 3.7 1 3 2.6 5 3 .5 3 5 A + + − = + + − +

1,0

10 3 10 3

10 5 10 5 3 5 10 21 1 3 5 1424676 45. 45. 3 3 5 3 12 5 3 5 31087 A + + − + + = + = + + − + = . 1,0

2 (2,0)

Điều kiện abc 0;a b c 0 ≠ + + ≠ (*) 0,25

Xét giả thiết b c 1 a c 2 a b 3 1 a b c a b c + + + + + − = = = + +

1 b c 1 a c 2 a b 3 2(a b c) 2 a b c a b c a b c + + + + + + + − + + ⇒ = = = + + + + + +

0,5

1 a b c 2 b c 1 2a a c 2 2b

+ + =   ⇒ + + =  + + = 

0,5

Ta tìm được 1 5 5 a ;b ;c 2 6 6 − = = = (thỏa mãn (*)) 0,5

Khi đó thay vào biểu thức ta có

3 1 5 5 M (2. 8. 4. 13) 8 2 6 6 = + + − = −. Vậy M = -8 0,25

2 (4,0)

1 (2,0)

Xét 2 3 2 (a b 2)a 1 a b + + + = + 2 (b 2)a b 1 ⇔ + = − (1) Nếu b= - 2 thay vào (1) ta có: 0=3 (vô lý) 0,25

Nếu b 2 ≠− ta có

2 2 b 1 (b 4) 3 3 a b 2 b 2 b 2 b 2 − − + ⇔ = = = − + + + + (2) 0,5

Do a, b là hai số nguyên nên b 2;b 2 − + là các số nguyên 3 (b 2). ⇒ +  Vậy { } { } b 2 1;1; 3;3 b 3; 1; 5;1 + ∈− − ⇒ ∈− −−

0,5

Với b= -3 thay vào (2) ta có a 8 = − (thỏa mãn) Với b= -1 thay vào (2) ta có a 0 = (thỏa mãn) Với b= -5 thay vào (2) ta có a 8 = − (thỏa mãn) Với b= 1 thay vào (2) ta có a 0 = (thỏa mãn)

0,5

Vậy (a;b)=(-8;-3); (0;-1) ;(-8;-5);(0;1)là cặp số nguyên cần tìm 0,25

2

2 (2,0)

Điều kiện: y 3 ≥−

Tacó

2 2

2 2 x 2 0; y 3 0;(6xy z ) 0 x,y,z

2023 x 2 2024 y 3 (6xy z ) 0

− ≥ + ≥ + ≥∀

⇒ − + + + + ≥

0,5

Dấu bằng xảy ra

2 2

x 2 0 x 2 y 3 0 y 3

6xy z 0 z 36

  − = =   ⇔ + = ⇔ = −     + = =  

0,5

x 2

y 3

z 6

=   ⇔ = −  = 

hoặc

x 2 y 3 z 6

=  = −  = − 

0,5

Đối chiếu điều kiện ta có: x=2; y=-3; z=6 hoặc x=2; y=-3; z=-6 0,5

3 (4,0)

1 (2,0)

Với x 0 ≥ ta có x 7 5 K 1 x 2 x 2 + = = + + + 0,5

Do 5 5 7 5 0; x 2 2 0 1 K 2 2 x 2 > + ≥ ⇒ < ≤ ⇒< ≤ + 0,5

Mặt khác K là số nguyên nên K = 2 hoặc K = 3 0,25 Nếu K =2

x 7 2 x 7 2( x 2) x 3 x 9 x 2 + ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ = + (tm x 0 ≥) 0,25

Nếu K = 3 x 7 1 1 3 x 7 3( x 2) x x 2 4 x 2

+ ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = ⇒ = + (tm x 0 ≥) 0,25

Vậy giá trị cần tìm của x là: x = 9; 1 x 4 = 0,25

2 (2,0)

Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a,b,c > 0

a a b b c c ; ; b c a b c c a a b c a b a b c ⇒ > > > + + + + + + + + + 0,25

⇒ a b c a b c P 1. b c c a a b a b c + + = + + > = + + + + + Vậy P >1 (1) …