Tài liệu tự học mặt nón - mặt trụ - mặt cầu - Trần Quốc Nghĩa

GV. TRẦN QUỐC NGHĨA (Sưu tầm & biên tập) 1

MẶT NÓN. MẶT TRỤ. MẶT CẦU

Vấn đề 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY.

HÌNH NÓN. MẶT NÓN. KHỐI NÓN

I. Khái niệm về mặt tròn xoay

1. Trục của đường tròn   ; O R : là đường thẳng đi qua tâm

O và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn.

2. Trong không gian cho mặt phẳng  P chứa đường

thẳng  và một đường C . Khi quay mặt phẳng  P

quanh  một góc 360 thì mỗi điểm M trên C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc  và nằm trên mặt phẳng vuông góc với . Như vậy khi quay mặt phẳng

 P quanh đường thẳng  thì C sẽ tạo nên được một hình gọi là mặt tròn xoay. Trong đó: đường C được gọi là đường sinh; đường thẳng  được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón – Hình nón – Khối nón

1. Định nghĩa mặt nón:

Trong mặt phẳng  P cho hai đường thẳng d và  cắt

nhau tại điểm O và tạo thành góc  (với

0 90    ). Khi quay mặt phẳng  P xung quanh 

thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Gọi tắt là mặt nón.   gọi là trục của mặt nón.  d gọi là đường sinh của mặt nón.  O gọi là đỉnh của mặt nón.  Nếu gọi  là góc giữa d và  thì 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón. 2. Hình nón tròn xoay:

 Cho IOM vuông tại I . Khi quay tam giác đó

xung quanh cạnh vuông góc OI thì đường gấp khúc IOM tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.  Trong đó

 Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM

quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của mình nón.  Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.  Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón.  Độ dài đoạn OM được gọi là độ dài đường sinh của hình nón.  Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi

quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón. 3. Khối nón tròn xoay:

 Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình đó được gọi là

khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón.  Trong đó:

 Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón.

6 Chủ đề

O  C

M





P

O M

C

O



 d O

I

M

O

I

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NÓN – TRỤ - CẦU 2

Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường

sinh của khối nón tương ứng. 4. Diện tích hình nón và thể tích khối nón:

a. Định nghĩa:

 Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của hình

chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.  Thể tích của khối nón: là giới hạn của thể tích của hình chóp đều nội tiếp hình nón

đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn. b. Công thức:

Gọi r là bán kính đường tròn đáy; l là độ dài đường sinh; h là chiều cao; B là diện tích đáy của hình nón.  Diện tích xung quanh: xq S rl  

 Diện tích toàn phần: 2 S tp xq đáy S S r rl      

 Thể tích của khối nón: 2 1 1 . 3 3 V B h r h   

5. Hình nón cụt :

a. Định nghĩa:

Hình nón cụt là phần nón giới hạn bởi mặt đáy và một thiết diện song song với đáy. b. Công thức:

 Diện tích xung quanh:   xq S R r l    .

 Diện tích toàn phần:     2 2 2 S tp xq đáy S S r R R r l        

 Thể tích khối nón cụt:   2 2 1 3 V h R r Rr     .

Trong đó: , R r là bán kính hai đáy;  h IJ là độ cao hình nón cụt.

Dạng 1. Tính toán cơ bản của hình nón: đường sinh, bán kính

đáy, chiều cao, góc ở đỉnh, diện tích, thể tích

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Hình nón:

 Chiều cao:  SO h  Đường sinh:  SM l

 Góc ở đỉnh:  2  MSN

 Bán kính đáy r thì: 2 2 2   l r h  Diện tích xung quanh:  xq S rl 

 Diện tích toàn phần: 2     tp x đáy q S S S r rl  

 Thể tích: 2 1 1 . 3 3   đáy V S h r h

2. Hình nón cụt:

 Diện tích xung quanh:     xq S R r l 

 Diện tích toàn phần:     2

2 2       tp xq đáy S S S r R R r l  

 Thể tích:   2 2 1 3    V h R r Rr 

r

l

R

A

B

I

J

O

r

r

l

S

O

h

M

R

r h