Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm mặt cầu mặt nón mặt trụ

Trang 1/44

CHỦ ĐỀ 2. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. MẶT NÓN

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng( ) P , cho 2 đường thẳng d , ∆cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với

0 0 0 90 β < < . Khi quay ( ) mp P xung quanh trục ∆với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn

xoay đỉnh O (hình 1).  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.  Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2/ Hình nón tròn xoay Cho OIM ∆ vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.  Hình tròn tâm I , bán kính r IM = là đáy của hình nón. 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:

 Diện tích xung quanh: . . xq S r l π =

 Diện tích đáy (hình tròn): 2 . ð S r π =

 Thể tích khối nón: 2 1 1 . . . 3 3 non ð V S h r h π = = .

4/ Tính chất:

 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi ( ) mp P đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu ( ) mp P cắt mặt nón theo 2 đường sinh⇒Thiết diện là tam giác cân.

+ Nếu ( ) mp P tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó

là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp( ) Q không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu ( ) mp Q vuông góc với trục hình nón⇒giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu ( ) mp Q song song với 2 đường sinh hình nón⇒giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu ( ) mp Q song song với 1 đường sinh hình nón⇒giao tuyến là 1 đường parabol.

II. MẶT TRỤ

Diện tích toàn phần hình nón: tp xq ð S S S   .

Hình 1 Hình 2

Trang 2/44

1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong ( ) mp P cho hai đường thẳng ∆và l song song nhau, cách nhau

một khoảng r . Khi quay ( ) mp P quanh trục cố định ∆ thì đường

thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.  Đường thẳng ∆ được gọi là trụC.  Đường thẳng l được gọi là đường sinh.  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2/ Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.  Đường thẳng AB được gọi là trụC.  Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh.  Độ dài đoạn thẳng AB CD h = = được gọi là chiều cao của hình trụ.  Hình tròn tâm A , bán kính r AD = và hình tròn tâm B , bán kính r BC = được gọi là 2 đáy của hình trụ.  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao làh và bán kính đáy bằng r , khi đó:

 Diện tích xung quanh của hình trụ: 2 xq S rh π =

 Diện tích toàn phần của hình trụ: 2 2. 2 2 tp xq Ðay S S S rh r π π = + = +

 Thể tích khối trụ: 2 . V B h r h π = =

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một ( ) mp α vuông góc với trục ∆ thì ta được

đường tròn có tâm trên ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một ( ) mp α không vuông góc với trục ∆ nhưng

cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn

bằng 2 sin r ϕ , trong đó ϕ là góc giữa trục ∆ và ( ) mp …