Chuyên đề trắc nghiệm mặt cầu, hình cầu và khối cầu

CHỦ ĐỀ 10. MẶT CẦU - HÌNH CẦU - KHỐI CẦU

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Mặt cầu

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm

là O và bán kính bằng R . Kí hiệu: ( ) { } ; . S O R M OM R = =

2. Khối cầu

Mặt cầu ( ) ; S O R cùng với các điểm nằm bên trong nó được gọi là một khối cầu tâm O , bán kính R . Kí

hiệu: ( ) { } ; . B O R M OM R = ≤

Nếu , OA OB là hai bán kính của mặt cầu sao cho , , A O B thẳng hàng thì đoạn thẳng AB gọi là đường

kính của mặt cầu.

Định lí: Cho điểm cố định A, B. Tập hợp các điểm M trong không gian sao

cho  0 90 AMB = là mặt cầu đường kính AB .

• ( ) ; . A S O R OA R ∈ ⇔ =

• 1 1 OA R A < ⇔ nằm trong mặt cầu.

• 2 2 OA R A > ⇔ nằm ngoài mặt cầu.

3. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Định nghĩa: Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện ( ) H được gọi

là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ( ) H và khi đó ( ) H được gọi là nội tiếp

mặt cầu đó.

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó

là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

Mọi tứ diện đều có mặt cầu ngoại tiếp.

4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

a. Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu nằm bên trong hình chóp và tiếp xúc với với tất các mặt của hình

chóp.

b. Tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp cách đều tất cả các mặt của hình chóp.

5. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu ( ) ; S O R và mặt phẳng ( ) P , gọi d là khoảng cách từ O đến ( ) P và H là hình chiếu vuông

góc của O trên ( ) P . Khi đó

• Nếu d R < thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( ) ; S O R theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt

phẳng ( ) P có tâm là H và có bán kính 2 2. r R d = −

Khi 0 d = thì mặt phẳng (P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính; giao

tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là dường tròn có tâm O và bán kính R, đường tròn đó gọi là đường

tròn lớn của mặt cầu.

• Nếu d R = thì mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) ; S O R có một điểm chung duy nhất H.

Khi đó ta nói ( ) P tiếp xúc với ( ) ; S O R tại H và ( ) P gọi là tiếp diện của mặt cầu, H gọi là tiếp diện.

Chú ý. Cho H là một điểm thuộc mặt cầu ( ) ; S O R và mặt phẳng ( ) P qua H . Thế thì ( ) P tiếp xúc với

( ) ( ) ; . S O R OH P ⇔ ⊥

• Nếu d R > thì mặt phẳng ( ) P và mặt cầu ( ) ; S O R không có điểm chung.

6. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu ( ) ; S O R và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ và d OH = là

khoảng cách từ O đến ∆. Khi đó:

• Nếu d R < thì ∆ cắt ( ) ; S O R tại hai điểm , A B và H là trung điểm của AB.

• Nếu d R = thì ∆ và ( ) ; S O R chỉ có một điểm chung H, trong trường hợp này ∆ được gọi là tiếp

tuyến của mặt cầu ( ) ; S O R hay ∆ tiếp xúc với ( ) ; S O R và H là tiếp điểm.

• Nếu d R > thì ∆ và ( ) ; S O R không có điểm chung.

7. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Gọi R là bán kính của mặt cầu thì

• Diện tích mặt cầu: 2 4 . S R π =

• Thể tích khối cầu: 2 4 . 3 V R π =

8. Một số công thức tính nhanh bán kính đường tròn ngoại tiếp

Tam giác đều cạnh

3 2 a a R → =

Hình vuông cạnh 2 2 a a R → =

Tam giác vuông cạnh huyền 2 b b R → = Hình chữ nhật đường chéo 2 d d R → =

Tam giác vuông cân cạnh

2 2 a a R → =

Định lí hàm sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = =

Tam giác ba cạnh , , ; 4 abc a b c R S → = với ( )( )( ) S p p a p b p c = − − − và . 2 a b c p + + =

II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ MẶT CẦU

 Dạng 1: Những bài toán vận dụng mức cơ bản

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu có diện tích bằng diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh a.

A.

3

6 a π

B.

3 32 3 a π

C.

3 a π

D.

3 4 3 a π

Lời giải

Diện tích xung quanh hình lập phương cạnh a là 2 2 4 4 xq mc S a S a = → =

Suy ra bán kính mặt cầu là

2 2 2 2 4 4 a a R a R R π π π = ⇔ = ⇒ =

Vậy thể tích khối cầu cần tính là

3 2 4 4 . 3 3 a V R π π = = Chọn D.

Ví dụ 2: Cho mặt cầu ( ) ; S O R và mặt phẳng( ) α . Biết khoảng cách từ O đến ( ) α bằng 2 R . Khi đó thiết diện

tạo bởi mặt phẳng ( ) α với ( ) ; S O R là một đường tròn đường …