Chuyên đề trắc nghiệm mặt trụ, hình trụ và khối trụ

CHỦ ĐỀ 11: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY

1. Định nghĩa trục của đường tròn

• Trục của đường tròn (O;R) là đường thẳng đi qua O và vuông

góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.

• Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một

đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là

(CM) (xem hình vẽ)

2. Định nghĩa mặt tròn xoay

• Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ. Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M

thuộc (H) được gọi là hình tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh Δ.

• Đường thẳng Δ gọi là trục của hình tròn xoay đó

• Khi ( H ) là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay

II. MẶT TRỤ TRÒN XOAY

1. Định nghĩa

Cho hai đường thẳng l và Δ sao cho l song song Δ; ( ) ; . d l R ∆=

Khi ta quay l quanh trục Δ một góc 3600 thì l tạo thành một mặt trụ

tròn xoay (T) (mặt trụ).

• Δ gọi là trục của mặt trụ (T).

• l gọi là đường sinh của mặt trụ (T).

• R gọi là bán kính của mặt trụ (T).

2. Tính chất

a. Mặt trụ (T) là tập hợp các điểm M cách đường thẳng cố định Δ một khoảng R không đổi.

b. Nếu M1 là một điểm bất kì trên mặt trụ thì đường thẳng l1 đi qua M1 và

song song với Δ cũng nằm trên mặt trục đó

c. Nếu một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Δ của mặt trụ (T) thì (P) cắt

(T) theo giao tuyến đường tròn tâm I, bán kính R (I là giao điểm của Δ với

(P))

d. Cho một mặt phẳng (P) song song với trục Δ của một mặt trụ (T).

Khi đó

• (P) cắt (T) theo hai đường sinh ( ) ( ) ; . d P R ⇔ ∆<

• (P) tiếp xúc với (T) ( ) ( ) ; . d P R ⇔ ∆=

• ( ) ( ) ( ) ( ) ; . P T d P R ∩ = ∅⇔ ∆>

III. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY

1. Định nghĩa hình trụ

• Cắt mặt trụ (T) trục Δ, bán kính R bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng

vuông góc với Δ, ta được giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C').

• Phần của mặt trụ (T) nằm giữa (P) và (P') cùng với hai hình tròn xác

định bởi (C) và (C') gọi là hình trụ.

• Hai dường tròn (C) và (C') gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ.

• OO' gọi là trục của hình trụ.

• Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ.

• Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

• Phần của đường sinh của mặt trụ (T) nằm trên mặt xung quanh của

hình trụ gọi là đường sinh của hình trụ (trên hình vẽ bên là đoạn MM')

2. Nhận xét

• Các đường sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ

• Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau, có hai kích thước là h, 2R.

• Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

• Nếu một điểm M di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T) chứa (C)

và có trục vuông góc α.

3. Khối trụ

• Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.

4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

• Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là 2 xq S Rh π =

• Diện tích xung quanh của hình trụ là π π = + × = + 2 2 2 2 tp xq ñ S S S Rh R

• Thể tích của khối trụ là 2 V R h π =

B. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức, thể tích

Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2 4 a π và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao của

hình trụ đó.

A. 2 . l a = B. . l a = C. 4 . l a = D. . 2 a l =

Lời giải

Ta có 2 2 4 2 2 xq S a Rh Rh a π π = = → = mà 2 2 2 2 R a a h a h a = ⇒ = ⇔ =

Vậy độ dài đường sinh của hình trụ là 2 . l h a = = Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn

phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2. h R = B. . h R = C. 2 . h R = D. 2 . h R =

Lời giải

Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 xq S Rh π =

Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2 2 tp S Rh R π π = +

Theo bài ra, ta có 2 2 2 2 2 2.2 2 2 . tp xq S S Rh R Rh R Rh R h π π π π π = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = Chọn B.

Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, diện tích toàn phần bằng 2 4 a π . Thể tích khối trụ đã cho

bằng

A. 3 2 . V a π = …