Chuyên đề trắc nghiệm mặt nón, hình nón và khối nón

CHỦ ĐỀ 12: MẶT NÓN - HÌNH NÓN - KHỐI NÓN

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. ĐỊNH NGHĨA MẶT NÓN

Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng d cắt ∆ tại S tạo thành một góc α với 2 0 π α < < . Mặt tròn xoay

sinh bởi đường thẳng d như thế khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản hơn là mặt nón)

 ∆ gọi là trục của mặt nón

 D gọi là đường sinh của mặt nón

 S gọi là đỉnh của mặt nón

 Góc 2α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón (hình vẽ bên)

II. HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN

Cho mặt nón (N) với trục ∆ , đỉnh S, góc ở đỉnh 2α

Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với A tại điểm I khác S. Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo một đường tròn

(C) có tâm I. Lại gọi (P’) là mặt phẳng vuông góc với A tại S.

Khi đó: Phần của mặt nón (N) giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hình tròn xác định bởi (C)

được gọi là hình nón:

 S gọi là đỉnh của hình nón

 Đường tròn (C) gọi là đường tròn đáy của hình nón

 Với mỗi điểm M nằm trên đường tròn (C), đoạn thẳng SM gọi là đường sinh của hình nón

 Đoạn thẳng SI gọi là trục của hình nón (đó chính là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy)

 Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài của nó. Hình nón

cùng với phần bên trong của nó gọi là khối nón

III. KHÁI NIỆM VỀ DIỆN TÍCH HÌNH NÓN VÀ THỂ TÍCH KHỐI NÓN

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

1. Định nghĩa.

Diện tích xung quanh của hình nón là giới hạn của diện tích xung quanh của một hình chóp đều nội tiếp

hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn

Thể tích của khối nón là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh tăng lên vô

hạn

2. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích xung quanh: Rl Sxq π =

Diện tích toàn phần: 2 R Rl S S S đ xq tp π π + = + =

Trong đó , R, l lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón

3. Thể tích của khối nón

Thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h là h R V 2 3 1π =

4. Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có 2 2 2 OA SO SA + =

Do đó

2 2 2 l h R = + (tham khảo hình vẽ bên)

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HÌNH NÓN VỚI MỘT MẶT PHẲNG QUA ĐỈNH CỦA NÓ

Cho một hình nón (N) và một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S của hình nón.

Có ba vị trí tương đối giữa (P) và (N)

 (P) và (N) có một điểm chung duy nhất

 (P) và (N) có chung một đường sinh duy nhất. Khi đó (P) tiếp xúc với (N) và (P) gọi là tiếp diện của

(N)

 (P) và (N) có chung hai đường sinh (Hình 1). Nếu (P) chứa trục của hình nón thì thiết diện của (P) và

hình nón gọi là thiết diện qua trục (Hình 2)

 Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R

B. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức diện tích, thể tích

Ví dụ 1: Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R = 3, chiều cao h = 4 bằng

A. 12π B. π 6 C. π 15 D. π 9

Lời giải

Độ dài đường sinh 5 4 3 2 2 2 2 = + = + = h R l

Vậy diện tích xung quanh hình nón là π π 15 = = Rl Sxq . Chọn C