Bài toán thực tế hình học không gian

CHỦ ĐỀ 14: BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH KHÔNG GIAN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: Người ta muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp

với thể tích 72dm3 và chiều cao là 3dm. Một vách ngắn (cung mặt

kính) ở giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a,b (đơn vị

dm) như hình vẽ. Tính a,b để bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm

kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng

đến thể tích của bể.

A. 24, 24. a b = = B. 3, 8. a b = =

C. 3 2, 4 2. a b = = D. 4, 6. a b = =

Lời giải

Thể tích của bể là 3 72 24. b V ab ab = = ⇒ =

Diện tích của bể cá là 9 6 24 9 6 24 2 9 24 2 54 96 .6 . a S a b ab a b b b a = + + = + + ≥ + = + =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 24 4. 9a 6 6 ab a b b = =   ⇔   = =  

Chọn D.

Ví dụ 2: Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có

đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là ( ) 3 18 . dm π Biết rằng

khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước

(hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình.

A. ( ) 3 12 . dm π B. ( ) 3 54 . dm π C. ( ) 3 6 . dm π D. ( ) 3 24 . dm π

Lời giải

Gọi bán kính khối cầu là R (dm).

Thể tích nước tràn ra ngoài bằng thể tích của nửa khối cầu

( ) 3 3 4 2.18 27 3 3 R R R dm ⇒ = ⇒ = ⇒ = π π

⇒ Chiều cao của bình nước là: ( ) 2 2.3 6 h R dm = = =

Bán kính đáy của hình nón là IA và 2 2 2 1 1 1 IA SI IH + =

Suy ra 2 12. IA = Vậy thể tích nước còn lại là

2 1 1 18 18 .12.6 18 6 . 3 3 N N V V R h = − = − = − = π π π π π π

Chọn C.

Ví dụ 3: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba

khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào

bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối

nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối

nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó

người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng 4 3

lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và

lượng nước trào ra là ( ) 3 337 . 3 cm π Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể.

A. ( ) 3 885,2 . cm ≈ B. ( ) 3 1209,2 . cm ≈ C. ( ) 3 1106,2 . cm ≈ D. ( ) 3 1174,2 . cm ≈

Lời giải

Gọi r là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là h = r (do thiết diện là tam giác vuông cân).

Chiều dài của khối hộp là b = 4r; bán kính của khối cầu là 4 . 3 R r =

Thể tích nước bị tràn là ( ) 2 3 1 4 337 3. 3 . 3 3 3 r h R r cm + = ⇒ = π π π

Gọi A, B, C là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra ΔABC đều cạnh 2 2 3 ABC r r R = =

Chiều rộng khối hộp là ( ) 2 3 2 2 3 2 r a r r = + = +

3 đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điểm , , M N P MNP ABC ⇒∆ = ∆

( ) ( ) ( ) 2 2 ; ABC d I MNP R R = − (với I là tâm mặt cầu) do đó ( ) ( ) 2 ; 3 d I MNP r =

Suy ra chiều cao của khối trụ là 2 3r 3 c R r r = + + =

Thể tích nước ban đầu là ( ) ( ) 3 3 12 2 3 1209,2 . abc r cm = + = Chọn B.

Ví dụ 4: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông

cạnh x (cm), chiều cao h (cm) và thể tích 500 cm3. Tính độ dài cạnh hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra

tốn ít bìa các tông nhất.

A. 5 cm. x = B. 10 cm. x = C. 2 cm. x = D. 3 cm. x =

Lời giải

Theo giả thiết ta có thể tích chiếc hộp là 2 2 500 500 V x h h x = = ⇒ =

Diện tích các mảnh cát tông là ( )

2 2 2000 4 f x x hx x x = + = +

Xét hàm số ( ) ( ) 2 2000 0 x f x x x = + > ta có: ( ) 2 2000 0 0 2 1 f x x x x = ⇔ ′ = = −

Từ đó ta có: ( ) f x nhỏ nhất khi x = 10 cm. Chọn B.