Hướng dẫn giải bài toán cực trị số phức - Lương Đức Trọng

Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678)

CỰC TRỊSỐPHỨC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bất đẳng thức tam giác:

• |z1 + z2| ≤|z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥0.

• |z1 −z2| ≤|z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤0.

• |z1 + z2| ≥||z1| −|z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤0.

• |z1 −z2| ≥||z1| −|z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥0.

2. Công thức trung tuyến: |z1 + z2|2 + |z1 −z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)

3. Tập hợp điểm:

• |z −(a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r.

• |z −(a1 + b1i)| = |z −(a2 + b2i)|: Đường trung trực của AB với A(a1; b1), B(a2; b2).

• |z −(a1 + b1i)| + |z −(a2 + b2i)| = 2a:

– Đoạn thẳng AB với A(a1; b1), B(a2; b2) nếu 2a = AB. – Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độdài trục lớn là 2a nếu 2a > AB.

Đặc biệt |z + c| + |z −c| = 2a: Elip (E) : x2

a2 + y2

b2 = 1 với b = √

a2 −c2.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Phương pháp đại số

VÍ DỤ1 (SởGD Hưng Yên 2017). Cho sốphức z thỏa mãn |z −1 −2i| = 4. Gọi M, m lần lượt là giá trịlớn nhất, giá trịnhỏnhất của |z + 2 + i|. Tính S = M 2 + m2. A. S = 34 B. S = 82 C. S = 68 D. S = 36

LỜI GIẢI 1. Ta có

4 = |z +2+i−(3+3i)| ≥||z +2+i|−|3+3i|| = ||z +2+i|−3 √

2| ⇒

( |z + 2 + i| ≤4 + 3 √

2 = M

|z + 2 + i| ≥3 √

2 −4 = m .

Khi đó S = M 2 + m2 = 68. Đáp án là C.

VÍ DỤ2 (SởGD Hà Tĩnh 2017). Trong các sốphức z thỏa mãn |z −(2 + 4i)| = 2, gọi z1 và z2 là sốphức có mô đun lớn nhất và nhỏnhất. Tổng phần ảo của hai sốphức z1 và z2 bằng A. 8i B. 4 C. −8 D. 8

1

https://www.facebook.com/luong.d.trong

LỜI GIẢI. Ta có

2 ≥||z| −|2 + 4i|| = ||z| −2 √

5| ⇒2 √

5 −2 ≤|z| ≤2 √

5 + 2.

Giá trịlớn nhất |z| là 2 √

5 −2 khi z = k(2 + 4i) với (k −1) √

5 = 1 ⇒k = 1 + 1 √

5. Do đó

z1 = 1 + 1 √

5

(2 + 4i).

Giá trịnhỏnhất |z| là 2 √

5 −2 khi z = k(2 + 4i) với (1 −k) √

5 = 1 ⇒k = 1 −1 √

5. Do đó

z2 = 1 −1 √

5

(2 + 4i).

Như vậy, tổng hai phần ảo của z1, z2 là 4 1 + 1 √

5

+ 4 1 −1 √

5

= 8.

Đáp án là D.

VÍ DỤ3 (THPT Chuyên Thái Nguyên 2017 L3). Cho sốphức z thỏa mãn |z2 + 4| = 2|z|. Kí hiệu M = max |z|, m = min |z|. Tìm mô đun của sốphức w = M + mi. A. |w| = 2 √

3 B. |w| = √

3 C. |w| = 2 √

5 D. |w| = √

5

LỜI GIẢI. Ta có

2|z| ≥|z|2 −4 ⇔|z|2 −2|z| −4 ≤0 ⇒|z| ≤1 + √

5 = M.

và 2|z| ≥4 −|z|2 ⇔|z|2 + 2|z| −4 ≥0 ⇒|z| ≥−1 + √

5 = m.

Vậy |w| = √

M 2 + m2 = 2 √

3. Đáp án là A.

VÍ DỤ4 (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc 2017). Trong các sốphức z thỏa mãn |2z+z| = |z−i|, tìm sốphức có phần thực không âm sao cho |z−1| đạt giá trịlớn nhất.

A. z =

√

6 4 + i

2 B. z = i

2 C. z =

√

3 4 + i

8 D. z =

√

6 8 + i

8

LỜI GIẢI. Gọi z = a + bi (a ≥0) thì z = a −bi. Khi đó

√

9a2 + b2 = p

a2 + (b −1)2 ⇔2b = 1 −8a2 ⇔b = 1

2 −4a2.

Ta có |z−1| = 1

|z| lớn nhất khi và chỉkhi |z| = √

a2 + b2 nhỏnhất.

|z|2 = a2 + 1

2 −4a2 2 = 16a4 −3a2 + 1

4 = 4a2 −3

8

2 + 7

64 ≥7

64 ⇒|z| ≥

√

7 8 .

Do đó sốphức z cần tìm thỏa mãn

  

 

a2 = 3

32 ⇒a =

√

6 8 b = 1

2 −4a2 = 1

8

. Vậy z =

√

6 8 + i

8.

Đáp án là D.

2

Lương Đức Trọng - ĐHSPHN (SĐT:0982715678)

Phương pháp hình học

VÍ DỤ5 (THPT Phan Bội Châu-Đăk Lăk 2017). Cho sốphức z thỏa mãn |z −3−4i| = 1. Mô đun lớn nhất của sốphức z là: A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

LỜI GIẢI.

x

y

I

O

M

N

Tập hợp các điểm M biểu diễn sốphức z thỏa mãn giảthiết là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính r = 3. Khi đó |z| = OM với O là gốc tọa độ. Do đó

max |z| = OI + r = 5 + 1 = 6.

Đáp án là B.

VÍ DỤ6 (THPT Đồng Quan-Hà Nội 2017,THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam 2017). Trong các sốphức z thỏa mãn |z −2 −4i| = |z −2i|. Tìm sốphức z có mô đun nhỏnhất A. z = 2 −2i B. z = 1 + i C. z = 2 + 2i D. z = 1 −i

LỜI GIẢI.

x

y

A

B

I

O

H

Gọi A(2; 4), B(0; 2), tập hợp các điểm z thỏa mãn giảthiết đềbài là đường trung trực d của AB có phương trình x + y −4 = 0. Khi đó |z| = OM nhỏnhất khi M là hình chiếu của O trên d là H(2; 2). Đáp án là C.

VÍ DỤ7 (THPT Trần Phú-Hà Nội 2017). Cho sốphức z thỏa mãn |z + 3| + |z −3| = 10. Giá trịnhỏnhất của |z| là A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

LỜI GIẢI. Gọi A(−3; 0), B(3; 0) có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn sốphức z. …