Hướng dẫn giải một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử - Lê Hồng Quốc

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 1

Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454

Câu 1. (Đề khảo sát của Bộ dành cho 50 trường) Xét số phức z thỏa 13 z i   . Tìm giá trị nhỏ nhất

T của 9 5 z i   .

A. 2 13 T  . B. 3 13 T  . C. 13 T  . D. 4 13 T  .

Hướng dẫn giải. Chọn A.

Đặt z x yi   (với , x y ). Khi đó 13 z i    

2 2 1 13 x y     .

Cách 1. Đại số.

Chọn 13 sin

13 cos 1

x t

y t

 

   .

Ta có        

2 2 2 2 2 9 5 9 5 13 sin 9 13 cos 6 P z i x y t t           

    2 2 13 sin cos 18 13 sin 12 13 cos 117 130 6 13 3sin 2cos t t t t t t        

  130 78sin 52 208 t P        , với

3 sin

13 2 cos

13





     

.

Vậy 2 13 T  .

Cách 2. Hình học.

Đặt 9 5 9 5 w z i w z i            2 2 2 9 5 w x y      suy ra tập hợp các số phức w nằm trên

đường tròn   1 C có tâm là   9;5 A , bán kính 1 R .

Mà 13 z i    

2 2 1 13 x y     suy ra tập hợp các số phức w nằm trên đường tròn   2 C có tâm

là   0; 1 B  , bán kính 2 13 R  .

Gọi C là điểm thuộc đường tròn   1 C , suy AC w  , mà C thuộc   2 C , suy ra

2 2 AB R AC AB R     , ta có   9; 6 117 3 13 AB AB      

suy ra 2 13 4 13 AC   . Vậy

2 13 T  .

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình   2 2 4 4 1 3 0 z m z m m      có hai nghiệm

phức thỏa 1 2 2 z z   .

A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 4. Hướng dẫn giải. Chọn C. Cách 1:

' 4 4 m   .

Trường hợp 1: ' 0  1 m  . Khi đó phương trình   2 2 4 4 1 3 0 z m z m m      có hai nghiệm là

1z a bi   , 2z a bi   với ,a b.

Ta có 2 2 1 2 2 1 z z a b       1 .

Theo định lí Vi-ét ta có

2

1 2

3 4 m m z z    2 , từ  1 và  2 suy ra 1

4

m

m

     .

Một số câu hỏi số phức khó trong các đề thi thử 2017 Trang 2

Sưu tầm và biên soạn: Lê Hồng Quốc ĐT: 0898.244.454

Suy ra m  3 .

Trường hợp 2: ' 0 1 m    phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2 1 z z   , suy ra 1 2 2 z z   .

Suy ra 1 m  thỏa  4 .

Trường hợp 3: ' 0  1 m  . Khi đó phương trình có hai nghiệm thực 1 2 , z z thảo hệ thức Vi-ét

1 2 2

1 2

1

3 4

z z m

m m z z

       

.

Theo đề ta có 1 2 2 z z  

2 2

1 2 1 2 2 4 z z z z      

2

1 2 1 2 1 2 2 2 4 z z z z z z     

 

2 2 2 3 3 1 4 2 2 m m m m m          2 2

2 1 4 3 0 3 3 3 0

m khi m m m m khi m m

             

 5 .

Vậy từ  3 ,  4 ,  5 suy ra 3 m  , 1 m  thỏa.

Cách 2:

Phương trình   2 2 4 4 1 3 0 z m z m m      luôn có hai nghiệm phức 1 2 , z z , theo định lí Vi-ét ta có

1 2 2

1 2

1

3 4

z z m

m m z z

       

. Theo yêu cầu bài toán ta có 1 2 2 z z  

2 2

1 2 1 2 2 4 z z z z    

2 2

1 2 1 2 1 2 2 4 2

z z z z z z         2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 8 z z z z z z z z       

    2 2 2 2 1 1 3 3 8 m m m m m m           

2 2 1 1 3 8 m m m m       

    

     

    

2 2

2 2

2 2

1 1 3 8 1

1 1 3 8 1;0 3;

1 1 3 8 0 3

m m m m khi m

                                    



2

2 2 6 8 0 1

2 4 6 0 1;0 3;

2 6 0 0 3

m m khi m

m m khi m

m khi m

                         

1 3 m m    .

Vậy 3 m  , 1 m  thỏa.

Câu 3. (THPT chuyên Quang Trung – Bình Phước) Cho z thỏa mãn   10 2 1 2 i z i z    . Biết

tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức   3 4 1 2 w i z i    là đường tròn tâm I , bán kính R

. Khi đó

A.   1; 2

5

I

R

      . B.   1;2

5

I

R

   . C.   1;2

5

I

R

     . D.   1; 2

5

I

R

     .

Hướng dẫn giải Chọn

Nhận xét. Ở đây đề cho lỗi, vì chỉ có 1 số phức z thỏa   10 2 1 2 i z i z    , nên tập hợp điểm

biểu diễn số phức w cũng chỉ có 1 điểm chứ không phải là 1 đường tròn.