Tài liệu chuyên đề số phức

CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC

Page 1

1. ĐỊNH NGHĨA

o Một số phức là một biểu thức dạng z a bi   với , a b  và 2 1 i .

o i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức

z a bi   . Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

  2 / , ; 1 a bi a b i       .

o Chú ý: - Khi phần ảo 0 b z a    là số thực. - Khi phần thực 0 a z bi z     là số thuần ảo. - Số 0 0 0i   vừa là số thực, vừa là số ảo.

o Hai số phức bằng nhau: a c a bi c di b d

      

với , , , a b c d .

o Hai số phức 1 2 ; z a bi z a bi    được gọi là hai số phức đối nhau.

2. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức liên hợp của z a bi   với , a b  là a bi  và được kí hiệu bởi z .

Một số tính chất của số phức liên hợp:

a) z z  b) ' ' z z z z    c) ' ' z z z z   

c) . ' . ' z z z z  d) z z z z

           

z là số thực z z   ; z là số thuần ảo z z  

3. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi   với , a b 

được biểu diễn bằng điểm   ; M a b .

CHƯƠNG

IV

SỐ PHỨC

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC

Page 2

4. MODULE CỦA SỐ PHỨC

o Môđun của số phức   , z a bi a b    là 2 2 z a b   .

o Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức

  , z a bi a b   đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là: 2 2 OM a b zz    

.

o Một số tính chất của môđun:

2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

2 2

0; 0 0;

, ,

+

' ' '

. .

z z z

z z z z z z

z z z z

z z z z z z

z z z z

z z

z z

    

    

  

     

 

 

5. CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC: CỘNG – TRỪ – NHÂN – CHIA SỐ PHỨC

Cho hai số phức z a bi   ; ' ' ' z a b i   với , , ', ' a b a b và số k .

o Tổng hai số phức: ' ' ( ') z z a a b b i      .

o Hiệu hai số phức:      ' ' ( ') z z a a b b i .

o Số đối của số phức z a bi   là z a bi  .

o Nếu , ' u u 

theo thứ tự biểu diễn các số phức , ' z z thì

' u u   

biểu diễn số phức ' z z  .

' u u   

biểu diễn số phức ' z z  . o Nhân hai số phức:

       . ' ' ' . ' . ' . ' '. z z a bi a b i a a bb a b a b i        .

o Số phức nghịch đảo:

1 2 1 z z z

 .

o Chia hai số phức:

Nếu 0 z  thì

2 ' '. z z z z z  , nghĩa là nếu muốn chia số phức ' z cho số phức 0 z  thì ta nhân

cả tử và mẫu của thương 'z

z cho z .

 Chú ý:

4 4 1 4 2 4 3 1; ; 1; (k ) k k k k i i i i i i        .

6. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

CHUYÊN ĐỀ IV – GIẢI TÍCH 12 – SỐ PHỨC

Page 3

Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn 2 z w  được gọi là một căn thức bậc 2 củaw . Mỗi số phức 0 w  0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau ( ) – . z và z

o Trường hợp w là số thực (w a  )

+ Khi 0 a > thì w có hai căn bậc hai là a và a  .

+ Khi 0 a < nên 2 ( ) a a i  , do đó w có hai căn bậc hai là . a i  và . a i  .

Ví dụ: Hai căn bậc 2 của 1 − là i và –i .

Hai căn bậc 2 của 2 ( 0) a a   là , ai ai  .

o Trường hợp ( , ; 0) w a bi a b b      .

Cách 1:

Gọi ( , ) z x yi x y   là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi 2z w  , tức là:

2

2 2 ( )

...; ... 2

x yi a bi

x y a x y xy b

             

Mỗi cặp số thực ( ) ; x y nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai

z x yi   của số phức w a bi   .

Cách 2:

Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là 2 w z  . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là z và -z .

7. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Cho phương trình bậc 2: 2 0 (1) Az Bz C    trong đó , , A B C là những số phức 0 A ≠ .

Xét biệt thức 2 4 B AC  

o Nếu 0  thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

1 2 ; 2 2 B B z z A A        

Trong đó là một căn bậc 2 của .

o Nếu 0  thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A   

CHÚ Ý:

o Mọi phương trình bậc n: 1 0 1 1 ... 0 n n n n A z Az A z A        luôn có n nghiệm phức

(không nhất thiết phân biệt). o Hệ thức Vi-ét đối với …