Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục - Lê Hải Trung

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736

Chương IV: Giới hạn Page 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. LÝ THUYẾT

I. Giới hạn 0

1. Định nghĩa:

Dãy số ( ) nu được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với

mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào

đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: lim 0 nu  .Hay là:

0 lim 0 n x u  

2. Một số giới hạn đặc biệt

 1 lim 0 kn  với * k   Nếu 1 q  thì lim 0 n

n q  

II. Giới hạn hữu hạn

1. Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy số ( ) nu được gọi là có giới hạn a nếu   lim 0 n u a   .Khi đó ta

viết:   lim lim 0 n n u a u a     ,

Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

Chú ý: Nếu nu c  (với c là hằng số) thì lim lim n n n u c c    

2. Một số định lí về giới hạn

Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa n n u v  kể từ số hạng nào đó trở đi và lim 0 nv  thì

lim 0 nu  .

Định lí 2. Cho lim , lim n n u a v b   . Ta có:

lim( ) n n u v a b    lim( ) n n u v a b   

 lim( . ) . n n u v a b   lim ( 0) n

n

u a b v b  

 Nếu 0 n u n   thì lim nu a 

Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736

Chương IV: Giới hạn Page 2

3. Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( ) nu có công bội q thỏa 1 q . Khi đó tổng

1 2 ... .... n S u u u      gọi là tổng vô hạn của CSN và

1 1 (1 ) lim lim 1 1

n

n

u q u S S q q       .

III. Giới hạn vô cực

1. Định nghĩa:

Ta nói rằng dãy số ( ) nu được gọi là có giới hạn  với mỗi số dương tuỳ

ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn

số dương đó . Kí hiệu lim nu 

Chú ý   lim lim n n n n u u     .

4.2. Một số kết quả đặc biệt

lim kn  với mọi 0 k 

 lim n q  với mọi 1 q .

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực.

Quy tắc 1: Nếu lim nu , lim nv  thì lim( . ) n n u v được cho như sau;

lim nu lim nv lim( ) n n u v

























Quy tắc 2: Nếu lim nu , lim nv l  thì lim( . ) n n u v được cho như sau;

lim nu Dấu của l lim( ) n n u v

























Giới hạn của dãy số Ths. Lê Hải Trung 0984735736

Chương IV: Giới hạn Page 3

Quy tắc 3: Nếu lim nu l ,lim 0 nv  và 0 nv  hoặc 0 nv  kể từ một số hạng nào dó trở

đi thì lim n

n

u v được coi như sau;

Dấu của l Dấu của nv lim n

n

u v

























B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Giới hạn 0

Phương pháp: Dể chứng minh dãy số (un) có lim 0 nu  ta chỉ ra dãy số (vn) sao

n n u v  kể từ số hạng nào đó trở đi và lim 0 nv  thì lim 0 nu  .

Chú ý : các dãy có giới hạn không được áp dụng

 1 lim 0 kn  với * k 

 Nếu 1 q  thì lim 0 n

n q  

Ví dụ 1: Chứng minh các dãy sau có giới hạn 0

a) 3 1 n

n u n  

b) cos

1 n

nx u n  

Giải

a) Ta có 3 3 3 2 1 1 1 n

n n n u n n n n       Mà 2 1 lim 0 lim 0 nu n   

b) Ta có cos 1 1 1 1 n

nx u n n n      mà 1 lim 0 lim 0 nu n   

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với 3 n n n u  .

a) Chứng minh 1 2 3

n

n

u

u

 với mọi 2 n 