Chuyên đề công thức lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. Định nghĩa

Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M

trên đường tròn lượng giác mà sđ q AM = β với 0 2 ≤β ≤π Đặt k2 ,k Z α = β + π ∈ Ta định nghĩa:

sin OK α = cos OH α =

sin tg cos α α = α

với cos 0 α ≠

cos cotg sin α α = α

với sin 0 α ≠

II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc α Giá trị ( ) o 0 0 ( ) o 30 6 π ( ) o 45 4 π ( ) o 60 3 π ( ) o 90 2 π

sinα 0 1 2

2 2

3 2

1

cosα 1 3 2

2 2

1 2

0

tgα 0 3 3

1 3 ||

cotgα || 3 1 3 3

0

III. Hệ thức cơ bản

2 2 sin cos 1 α + α =

2 2 1 1 tg cos + α = α

với ( ) k k Z 2 π α ≠ + π ∈

2 2 1 t cotg sin + = α

với ( ) k k Z α ≠π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo)

a. Đối nhau: α và −α

( ) sin sin −α = − α ( ) cos cos −α = α ( ) ( ) tg tg −α = − α ( ) ( ) cotg cotg −α = − α

b. Bù nhau: α và π −α

( ) ( ) ( ) ( )

sin sin

cos cos

tg tg

cotg cotg

π −α = α

π −α = − α

π −α = − α

π −α = − α

c. Sai nhau π : và α π + α ( ) ( ) ( ) ( )

sin sin

cos cos

tg tg

cotg cotg

π + α = − α

π + α = − α

π + α = α

π + α = α

d. Phụ nhau: α và 2 π −α

sin cos 2

cos sin 2

tg cotg 2

cotg tg 2

π ⎛ ⎞ −α = α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ −α = α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ −α = α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ −α = α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

e.Sai nhau 2

π : và α 2 π + α

sin cos 2

cos sin 2

tg cotg 2

cotg tg 2

π ⎛ ⎞ + α = α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ + α = − α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ + α = − α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π ⎛ ⎞ + α = − α ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

f.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ π = − ∈

+ π = − ∈

+ π = ∈

+ π =

k

k sin x k 1 sinx,k Z

cos x k 1 cosx,k Z

tg x k tgx,k Z

cotg x k cotgx

V. Công thức cộng

( ) ( )

( )

sin a b sinacosb sinbcosa

cos a b cosacosb sinasinb

tga tgb tg a b 1 tgatgb

± = ±

± =

± ± =

∓

∓

VI. Công thức nhân đôi

=

= − = − =

= −

− =

2 2 2 2

2

2

sin2a 2sinacosa

cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 2tga tg2a 1 tg a

cotg a 1 cotg2a 2cotga

−

VII. Công thức nhân ba:

3

3 sin3a 3sina 4sin a

cos3a 4cos a 3cosa

= −

= −

VIII. Công thức hạ bậc:

( )

( )

2

2

2

1 sin a 1 cos2a 2 1 cos a 1 cos2a 2 1 cos2a tg a 1 cos2a

= −

= +

− = +

IX. Công thức chia đôi

Đặt a t tg 2 = (với ) a k2 ≠π + π

2

2

2

2

2t sina 1 t 1 t cosa 1 t 2t tga 1 t

= + − = +

= −

X. Công thức biến đổi tổng thành tích

( )

( )

a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2 a b a b sina sinb 2cos sin 2 2 a b a b sina sinb 2cos sin 2 2 sin a b tga tgb cosacosb sin b a cotga cotgb sina.sinb

+ − + =

+ − − = −

+ − + =

+ − − =

± ± =

± ± =

XI. Công thức biển đổi tích thành tổng

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 cosa.cosb cos a b cos a b 2 1 sina.sinb cos a b cos a b 2 1 sina.cosb sin a b sin a b 2

= ⎡ + + − ⎣ ⎦

−

⎤

= ⎡ + − − ⎣ ⎦⎤

= ⎡ + + − ⎤ ⎣ ⎦

Bài 1: Chứng minh

4 4

6 6 sin a cos a 1 2 sin a cos a 1 3 + − = + − Ta có:

( )

2 4 4 2 2 2 2 2 sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a + −= + − −= − 2

Và:

( )( )

( )

6 6 2 2 4 2 2 4

4 4 2 2

2 2 2 2

2 2

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1

sin a cos a sin acos a 1

1 2sin acos a sin acos a 1

3sin acos a

+ −= + − +

= + − −

= − − −

= −

−