Lý thuyết, các dạng toán và bài tập cung và góc lượng giác, công thức lượng giác

Chương 6

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I. Tóm tắt lí thuyết

1. Khái niệm cung và góc lượng giác

Định nghĩa 1. Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Quy ước: chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. A

+

−

Định nghĩa 2. Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm A và B. Một điểm M di chuyển trên đường tròn luôn theo một chiều (dương hoặc âm) từA đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B. △ ! Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng, ta có vô sốcung lượng giác điểm đầu A, điểm

cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là ↷ AB. △ ! Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì

• Kí hiệu ı AB chỉmột cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định.

• Kí hiệu ↷ AB chỉmột cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.

Định nghĩa 3.

Trên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác ↷ CD. Một điểm M chuyển

động trên đường tròn từC đến D tạo nên cung lượng giác ↷ CD nói trên. Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từvịtrí OC đến vịtrí OD. Ta nói ta OM tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu: (OC,OD).

D

O

C

M

395

396 CHƯƠNG 6. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa 4. Trong mặt phẳn tọa độOxy, vẽđường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn này cắt hai trục tọa độtại bốn điểm A(1;0), A′(−1;0), B(0;1), B′(0;−1). Ta lấy A làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).

x

y

O A

B

B′

A′

2. Sốđo của cung và góc lượng giác

Định nghĩa 5. Trên đường tròn tùy ý, cung có độdài bằng bán kính được gọi là cung co sốđo 1rad.

Liên hệgiữa độvà rad: 1◦= π

180 rad và 1rad = Å180

π

ã◦ . △ ! Khi viết sốđo của một góc (hay cung) theo đơn vịrađian, người ta thường không viết chữrad sau số

đo. Chẳng hạn cung π

2 được hiểu là cung π

2 rad.

Bảng chuyển đổi thông dụng:

Độ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦

Rađian π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6 π

Định nghĩa 6. Sốđo của một cung lượng giác ↷ AM (A ̸= M) là một sốthực, âm hay dương.

Kí hiệu sốđo của cung là ↷ AM là sđ ↷ AM. Ghi nhớ:

sđ ↷ AM = α +k2π,k ∈Z.

sđ ↷ AM = a◦+k360◦,k ∈Z

Định nghĩa 7. Sốđo của góc lượng giác (OA,OC) là sốđo của cung lượng giác ↷ AC tương ứng.

Sốđo của một cung lượng giác

Sốđo của một cung lượng giác ↷ AM (A ̸= M) là một sốthực, âm hay dương. Kí hiệu sốđo của cung là ↷ AM

là sđ ↷ AM. Ghi nhớ

sđ ↷ AM = α +k2π,k ∈Z.

sđ ↷ AM = a◦+k360◦,k ∈Z

Sốđo của một góc lượng giác

Sốđo của góc lượng giác (OA,OC) là sốđo của cung lượng giác ↷ AC tương ứng.

Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

1.. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 397

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác (OA,OM)) = α là điểm biểu diễn cung lượng giác có sốđo α.

x

y

A

B

A′

B′

O

α

M

II. Các dạng toán

Dạng 1. Liên hệgiữa độvà rađian

Sửdụng cộng thức chuyển đổi giữa sốđo độvà sốđo rađian: 1◦= π

180 rad và 1rad = Å180

π

ã◦ .

Ví dụ1. Đổi sốđo của các góc sau ra rađian: 72◦;600◦;−37◦45′30′′.

Lời giải. Vì 1◦= π

180 rad nên

72◦= 72· π

180 = 2π

5 ;

600◦= 600· π

180 = 10π

3 ;

−37◦45′30′′ = −37◦− Å45

60

ã◦ − Å 30 60·60

ã◦ = Å4531

120

ã◦ = 4531

120 · π

180 ≈0,6587.

Ví dụ2. Đổi sốđo của các góc sau ra độ: 5π

18 ; 3π

5 ;−4.

Lời giải. Vì 1rad = Å180

π

ã◦ nên

5π

18 = Å5π

18 · 180

π

ã◦ = 50◦;

3π

5 = Å3π

5 · 180

π

ã◦ = 108◦;

−4 = − Å 4· 180

π

ã◦ ≈−2260◦48′.

BÀI TẬP TỰLUYỆN

Bài 1. Đổi sốđo của các góc sau ra rađian: 54◦;30◦45′;−60◦;−210◦.

Lời giải. 54◦= 54· π

180 = 3π

10 ;

30◦45′ = 30◦+ Å45

60

ã◦ = Å123

4

ã◦ = 123

4 · π

180 = 41π

240 ≈0,5367;

−60◦= −60· π

180 = −π

3 ;

−210◦= −210· π

180 = −7π

6 .