Hướng dẫn tư duy và giải quyết 205 bài toán Oxy trong các đề thi thử Quốc gia - Hứa Lâm Phong

1

BÀI GIẢI LUYỆN THI HÌNH HỌC PHẲNG 2016

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD, BC. Trên đường thẳng MN lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết (5; 1) K  , phương trình đường thẳng chứa cạnh : 2 3 0 AC x y    và điểm A có tung độ dương. .

(Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014)

■ Nhận xét và ý tưởng :

Bài toán trên có thể chia thành hai bước: + Bước 1: chứng minh AC  KD (dùng giả thiết quan trọng này để làm tiếp bước 2) + Bước 2: vận dụng AC  KD vào việc giải tìm tọa độ của 4 đỉnh A, B, C, D. ☺ Bước 1: Nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện KD  AC. Để chứng minh KD  AC có rất nhiều cách trong đó có thể kể đến:

● Cách 1: Chứng minh 90 KDC ACD    (chứng minh tổng 2 góc trong

một tam giác bằng 90o suy ra góc 90 DHC    Ta đã có 90 DAC ACD    nên ta cần chứng minh

DAC MKD  (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác MKD ACD   )

● Cách 2: Vẫn với ý tưởng như cách 1, ta chứng minh 90 HDC ACD    để suy ra 90 DHC   

Ta đã có 90 DAC ACD    DAC HDC  (2 góc này bằng nhau do tan tan DAC HDC  , để dễ hiểu hơn chúng ta có thể mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vuông ADEF (và bạn đọc sẽ không còn quá xa lạ với việc chứng minh AC  KD) ● Cách 3: Dựng hệ trục tọa độ Bxy như hình vẽ  tọa độ hóa các điểm và điều phải chứng minh tương đương với . 0 AC KD  . (Bạn đọc có thể xem hình vẽ để hiểu rõ hơn) ● Cách 4: Dựa trên ý tưởng chứng minh . 0 AC KD   Ta sử dụng tích vô hướng giữa hai véctơ . | |.| b |.cos( , ) a b a a b  . Cụ thể trong bài này ta sẽ gọi M = BC  KD  chuyển bài toán chứng minh

. 0 AC KD  thành . 0 AC MD  (Ta sẽ dùng quy tắc “chèn điểm” để tạo ra các tích vô hướng bằng 0 hoặc các

2

cạnh có độ dài và hợp góc cụ thể).

●Cách 5: Ta cũng có thể chứng minh “điểm thuộc đường tròn” dựa trên cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Cụ thể trong bài này ta sẽ chứng minh “H nhìn AK dưới một góc vuông”  Xét thấy “M cũng đang nhìn AK dưới một góc vuông ”  Ta sẽ chứng minh AMHK là tứ giác nội tiếp  ta cần chứng

minh DAC MKD  (2 góc liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh MH bằng nhau) (việc chứng minh này cũng tương tự như cách 1 và cách 2).

●Cách 6: Ta có thể vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh HCD  H  AC  KD  để thực hiện điều này bạn cần tính số đo của 3 cạnh HC, HD, CD theo 1 cạnh còn lại hoặc một cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” do xét thấy IC  KD = H và IK // CD).

Ngoài ra các bạn còn có thể chứng minh bằng cách “gián tiếp đổi đường” chuyển từ bài toán chứng minh vuông góc sang song song, hoặc chứng minh trong tam giác vuông đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có góc vuông bằng nửa cạnh huyền, v,v,…

☺Bước 2: Sau khi đã chứng minh AC  KD. Ta có thể đi tiếp theo hai hướng sau:

+ Hướng thứ 1: (tạo thêm phương trình đường thẳng mới)

_ Viết phương trình KD  H = KD  AC  tọa độ H. _ Vận dụng định lý thuận Thales ở cách 6)  Ta tìm được tỉ số độ dài HK và HD  chuyển

, (k 0) KH kKD KH kKD      tọa độ điểm D. _ Viết phương trình đường thẳng AD qua điểm D và có véctơ pháp tuyến là

2 2 ( ; ), ( 0) n a b a b    và AD tạo với AC một góc  với 2 2 2 cos 5

AD AD AC AD CD     _ Sau khi viết được phương trình AD  tìm được tọa độ điểm A  tọa độ tâm M  tọa độ tâm I của hình chữ nhật ABCD (dựa trên quan hệ MK = 3MI 3 MK MI   ). _ Có tọa độ tâm I (là trung điểm AC và BD)  tọa độ của B và C. + Hướng thứ 2: (tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK)

_ Viết phương trình KD  H = KD  AC  tọa độ H. _ Tham số hóa điểm A theo đường AC  1 ẩn nên cần một phương trình  độ dài AK = ?

_ Dựa vào định lý thuận Thales ở cách 6 ta tính được độ dài AK.

_ Có tọa độ điểm A

4 5 AH AC  tọa độ C  tọa độ trung điểm I

2 3 CD KI   tọa độ D  tọa độ B.

►Hướng dẫn giải chứng minh AC  KD : Gọi H = AC  KD

* Cách 1: Ta có MKD = ACD (c-g-c)  DAC MKD  .

Ta có: 90 90 90 DAC ACD MKD ACD HDC ACD           

Suy …