Phương trình đường thẳng Oxy - Nguyễn Bảo Vương

Tài liệu toán 10 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 1

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1.PHƯƠNG TRìNH Đường Thẳng

a. Định nghĩa : Cho đường thẳng . Vectơ 0 n   

gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của 

nếu giá của n 

vuông góc với .

Nhận xét :

- Nếu n 

là VTPT của  thì   0 kn k  

cũng là VTPT của .

b. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và có VTPT ( ; ) n a b  

.

Khi đó ( ; ) M x y  0 0 0 0 . 0 ( ) ( ) 0 MM n MM n a x x b y y            

0 0 0 ( ) ax by c c ax by       (1)

(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng .

Chú ý :

- Nếu đường thẳng  : 0 ax by c    thì ( ; ) n a b  

là VTPT của .

c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

•  song song hoặc trùng với trục : 0 Ox by c    •  song song hoặc trùng với trục : 0 Oy ax c    •  đi qua gốc tọa độ : 0 ax by   

•  đi qua hai điểm     ;0 , 0; : 1 x y A a B b a b    với   0 ab 

• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y kx m   với tan k   ,  là góc hợp bởi tia Mt của  ở phía trên trục Ox và tia Mx

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :

Tài liệu toán 10 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 2

a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :

Cho đường thẳng . Vectơ 0 u   

gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng 

nếu giá của nó song song hoặc trùng với .

Nhận xét :

- Nếu u 

là VTCP của  thì   0 ku k  

cũng là VTCP của .

- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu  có VTCP ( ; ) u a b  

thì ( ; ) n b a  

là một VTPT của .

b. Phương trình tham số của đường thẳng :

Cho đường thẳng  đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và ( ; ) u a b  

là VTCP.

Khi đó ( ; ) M x y .

0 0 0 x x at MM tu t R y y bt

           

 

. (1)

Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t gọi là tham số

Nhận xét : Nếu  có phương trình tham số là (1) khi đó 0 0 ( ; ) A A x at y bt   

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.

Cho đường thẳng  đi qua 0 0 0 ( ; ) M x y và ( ; ) u a b  

(với 0, 0 a b   ) là vectơ chỉ

phương thì phương trình 0 0 x x y y a b    được gọi là phương trình chính tắc của

đường thẳng .

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :

Tài liệu toán 10 năm học 2018

Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 3

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Chú ý:

o Đường thẳng  có phương trình tổng quát là 2 2 0, 0 ax by c a b      nhận   ; n a b 

làm

vectơ pháp tuyến.

Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0; : 0 d a x b y c d a x b y c      

• 1d cắt 2 d khi và chỉ khi

1 1

2 2 0 a b a b 

• 1 2 / / d d khi và chỉ khi

1 1

2 2 0 a b a b  và

1 1

2 2 0 b c b c  , hoặc

1 1

2 2 0 a b a b  và

1 1

2 2 0 c a c a 

• 1 2 d d  khi và chỉ khi

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a b b c c a   

Chú ý: Với trường hợp 2 2 2 . . 0 a b c  khi đó

+ Nếu 1 2

1 2

a a b b  thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu 1 2 1

1 2 2

a a c b b c   thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu 1 2 1

1 2 2

a a c b b c   thì hai đường thẳng trùng nhau.

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải:

• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định - Điểm 0 0 ( ; ) A x y 

- Một vectơ pháp tuyến   ; n a b 

của 

Khi đó phương trình tổng quát của  là     0 0 0 a x x b y y    

DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.