Một số hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá - Nguyễn Văn Quốc Tuấn

Sử dụng phương pháp đánh giá để giải hệ phương trình.

I. Lý thuyết

Các bất đẳng thức quan trọng

• Bất đẳng thức Cosi.

Với n số thực không âm 1 2 3 n a ,a ,a ,.......,a ta có

n 1 2 3 n 1 2 3 n a a a ........ a n a .a .a ..........a + + + + ≥

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 3 n a a a ....... a = = = =

• Bất đẳng thức Bunhiacoxky

Với 2 bộ sô ( ) 1 2 n a ; a ;...;a và ( ) 1 2 n b ; b ;...;b ta có:

( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a ... a b b ... b a b a b ... a b + + + + + + ≥ + + +

Dấu bằng xảy ra khi 1 2 n

1 2 n

a a a ... b b b = = = .

• Bất đẳng thức Svacxo.

Với 1 2 n b ,b ...b 0 > ta có: ( )

2 2 2 2 2 1 2 3 n 3 1 2 n

1 2 3 n 1 2 3 n

a a a ..... a a a a a ...... b b b b b b b ..... b

+ + + + + + + ≥ + + + +

.

Dấu bằng xảy ra khi: 3 1 2 n

1 2 3 n

a a a a ..... b b b b = = = = .

Các bất đẳng thức phụ cần ghi nhớ.

- Với a,b 0 > ta có: 1 1 4 a b a b + ≥ +

. Dấu bằng xảy ra khi a b = .

- Với ab 1 ≥thì 2 2 1 1 2 1 a 1 b 1 ab + ≥ + + +

. Với ab 1 ≤ thì bất đẳng thức đổi chiều.

Dấu bằng xảy ra khi a b 1 = =

II. Các Ví dụ và bài tập tự luyện.

Ví dụ 1: (Đề tuyển sinh đại học khối A- 2014)

Giải hệ phương trình sau ( ) 2

3

x 12 y y 12 x 12

x 8x 1 2 y 2

 − + − =  − −= − 

.

WWW.TOANMATH.COM

Lời giải

Điều kiện: 2 3 x 2 3; 2 y 12 − ≤ ≤ ≤ ≤

Với 2 số thực a,b bất kỳ ta có: ( )

2 2 2 a b a b 0 ab 2 + − ≥ ⇔ ≥

Áp dụng ta được:

( )

2

2 2 2

x y 12 x 12 y 2

12 x y y 12 x y. 12 x 2

 −+  − ≤  − +  − = − ≤ 

Nên ( ) 2 x 12 y y 12 x 12 − + − ≤ do đó: ( ) 2 x 0 1

y 12 x

≥  ⇔= − 

Thay vào ( ) 2 ta được: ( ) 3 2 3 2 x 8x 1 2 10 x x 8x 3 2 1 10 x 0 − −= − ⇔ − −+ − − =

( ) ( ) ( ) 2

2 2 x 3 x 3 x 3x 1 0 3 1 10 x

  +   ⇔ − + + + =   + −  

Do ( ) 2

2 2 x 3 x 0 x 3x 1 0 1 10 x

+ ≥ ⇒ + + + > + −

khi đó ( ) 3 x 3 y 3 ⇔ = ⇒ = ( Thỏa mãn )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ) ( ) x;y 3;3 =

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 1 1 2 1 1 2xy 1 2x 1 2y x, y 2 x 1 2x y 1 2y 2 9

 + =  + + +  ∈  − + − = 

Z

Lời giải

Điều kiện:

1 0 x 2 1 0 y 2

≤ ≤ ≤ ≤ 

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxky ta có:

( )

2

2 2 2 2 1 1 1 1 2 * 1 2x 1 2y 1 2x 1 2y

          + ≤ +           + +     + +  

Dấu bằng xảy ra 2 2 1 2x 1 2y x y ⇔ + = + ⇔ =

Ta lại có:

( ) ( ) ( )( )( )

( )

2

2 2 2 2

2 2

2 x y 2xy 1 1 1 2 0 1 2x 1 2y 1 2xy 1 2x 1 2y 1 2xy

1 1 2 ** 1 2x 1 2y 1 2xy

− − + − = ≤ + + + + + +

⇒ + ≤ + + +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y = .

Từ ( ) * và ( ) ** ta suy ra

2

2 2 2 2 1 1 4 1 1 2 1 2xy 1 2xy 1 2x 1 2y 1 2x 1 2y

     + ≤ ⇔ + ≤     +  +  + + + +  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y = . Khi đó ( ) 1 x y ⇔ = thế xuống phương trình ( ) 2 ta

được:

( ) ( ) 2 9 73 9 73 x 1 2x x 1 2x x y 9 36 36 ± ± − + − = ⇔ = ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( ) 9 73 9 73 x;y ; 36 36

  ± ±    =     

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

3 3 2

3 2 2 x 3x 2 y 3y

x 2 x 3x y 2 x 3y

 − + = +  − + − + + = − 

Lời giải

Nhận xét: Nhìn vào phương trình đầu của hệ ta có cảm giác ngay là sử dụng hàm số đại

diện 3t 3t − nhưng cần có điều kiện của biến. Ở đây biến muốn tìm điều kiện của biến y thì chúng ta cần suy ra từ phương trình 2 nhưng khó khan nên chúng ta phải nghĩ hướng khác. Ở đây chúng ta có thể phân tích thành nhân tử nên thử đi theo hướng đó xem sao.

Điều kiện: 3 2 x 2

x 3x y 2 0

≥  − + + ≥ 

Ta có: