Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Yên Phong 2 - Bắc Ninh

SỞGD-ĐT BẮC NINH ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ2 NĂM HỌC 2023-2024 ————————————– Môn: Toán 11 (Đềthi gồm 01 trang) Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút ————————————–

Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số(un) có sốhạng tổng quát un = −3n + 1, ∀n ∈N∗. a) Chứng minh rằng (un) là một cấp sốcộng. b) Với mỗi sốnguyên dương n ta đặt vn = 2024un. Chứng minh rằng dãy số(vn) là một cấp sốnhân lùi vô hạn và tính tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn đó. Câu 2 (4,0 điểm). a) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 3x −π

7

= √

2 −1.

b) Biết rằng phương trình a. sin x + b. cos x = c có nghiệm khi và chỉkhi a2 + b2 ≥c2. Vận dụng tính chất đó, hãy tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của hàm số

y = 1 −sin x + 2 cos x

3 + sin x −cos x .

Câu 3 (4,0 điểm). a) Tìm m đểhàm sốsau đây liên tục tại điểm x = 1

f(x) =

   

  

1 x −1 − 3 x3 −1 khi x > 1,

x2 + m khi x ≤1.

b) Tính giới hạn lim x→0

√1 + 16x. 3√1 −27x −1

x .

Câu 4 (2,0 điểm). Chọn ngẫu nhiên một sốnguyên dương có 5 chữsố. Tính xác suất đểchọn được sốmà hai chữsốkềnhau luôn khác nhau. Câu 5 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độOxy cho parabol (P) : y = x2 −2x và đường tròn (T) : x2 + y2 −4x −2y = 0. Tính diện tích của đa giác lồi có các đỉnh là các điểm chung của (P) và (T). Câu 6 (4,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC, G là trọng tâm tam giác ABC, K là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (AGM). a) Chứng minh đường thẳng OM song song với mặt phẳng (SAD). b) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng MG và song song với đường thẳng SB. Hãy xác định giao điểm Q của đường thẳng BC với mặt phẳng (P).

c) Tính tỉsốKS

KD.

HẾT

Thí sinh không được sửdụng tài liệu. Cán bộcoi thi không giải thích gì thêm.

Họvà tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sốbáo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SỞGD-ĐT BẮC NINH THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ2 NĂM HỌC 2023-2024 ————————————– Môn: Toán 11 Ngày thi: 06/01/2024 - Thời gian làm bài: 150 phút ————————————–

ĐÁP ÁN - HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 03 trang)

Câu Nội dung Điểm 1 (4,0) a) Ta có un = −3n + 1, un+1 = −3n −2, ∀n ∈N∗ 1,0

⇒un+1−un = −3, ∀n ∈N∗. Vậy (un) là một cấp sốcộng với công sai d = −3. 1,0

b) Nhận thấy vn = 2024. 1 20243 n , vn+1 = 2024. 1 20243 n+1 , ∀n ∈N∗.

Do đó vn+1

vn = 1 20243 ∈(−1; 1), ∀n ∈N∗.

Vậy (vn) là một cấp sốnhân lùi vô hạn với công bội q = 1 20243, v1 = 1 20242.

1,0

Tổng của cấp sốnhân lùi vô hạn (vn) là S = v1 1 −q = 2024 20243 −1. 1,0

2 (4,0) a) tan 3x −π

7

= √

2 −1 ⇔tan 3x −π

7

= tan π

8 ⇔x = 5π

56 + kπ

3 , k ∈Z. 1,0

Ta có 5π

56 + kπ

3 < 0 ⇔k < −15

56. Mà k ∈Z nên k = −1, −2, −3, −4, .... Vậy

nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho (ứng với k = −1) là x = −41π

168.

1,0

b) Phương trình sin x −cos x = −3 vô nghiệm vì 12 + (−1)2 < (−3)2. Dẫn tới 3 + sin x −cos x ̸= 0, ∀x ∈R. Hàm sốđã cho có tập xác định là R. Ta có

y = 1 −sin x + 2 cos x

3 + sin x −cos x ⇔(−y −1) sin x + (y + 2) cos x = 3y −1.

1,0

Coi phương trình trên là phương trình ẩn x, với y là tham số. Phương trình này có nghiệm khi và chỉkhi (−y−1)2+(y+2)2 ≥(3y−1)2 ⇔7y2−12y−4 ≤0

⇔−2

7 ≤y ≤2. Chứng tỏhàm sốđã cho có miền giá trịlà đoạn h −2

7; 2 i .

Vậy max y = 2 và min y = −2

7.

1,0

3 (4,0) a) Ta có lim x→1+ f(x) = lim x→1+

1 x −1 − 3 x3 −1

= lim x→1+

x + 2 x2 + x + 1

= 1. 1,0

Đồng thời lim x→1−f(x) = |m + 1| = f(1).

Hàm sốf(x) liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉkhi |m + 1| = 1 hay m = 0 hoặc m = −2.

1,0

Trang 1/3