Đề thi Olympic Toán 11 năm 2023 - 2024 cụm Hà Đông Hoài Đức - Hà Nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN 11 Ngày thi: 28/3/2024 Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. (4 điểm)

1) Tìm số nghiệm của phương trình 5 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 x x x                  

trên khoảng   0,3 . 

2) Cho tam giác . ABC Chứng minh cos cos cos 1 . tan sin sin sin 2 A B C C A B C     

Câu II. (4 điểm)

1) Cứ vào đầu mỗi tháng, ông A đến gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất là

0,5% / tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau đúng 5 năm thì ông A nhận được số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu, biết rằng trong suốt quá trình gửi, ông A không rút tiền ra và lãi suất của ngân hàng không thay đổi.

2) Cho hai số thực a , b đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

1 1 . log log ab ab S a b  

Câu III. (4 điểm)

1) Tìm các giới hạn sau

a)

3

2 1

2 1 1. lim

1 2 x

x A

x 

 

 

b)     

0

1 1 2 1 3 ... 1 10 1. lim

x

x x B x

x x



     

2) Cho dãy số   nu là một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1 u , công bội 2. q  Chứng minh

3 1 4 2 5 3 2024 2022

1 1 1 1 2 . ... 3 u u u u u u u u         

Câu IV. (6 điểm)

Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và , B , 2 AB BC a AD a    . Biết SA vuông góc với đáy ( ) ABCD và SA a  .

1) Tính sin của góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng ( ). SAC 2) Gọi M là một điểm thay đổi trên cạnh ,( CD M khác C và ). D Mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng ( ) SBC cắt các cạnh , , AB SA SD lần lượt tại , N P và . Q Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang vuông. 3) Khi M thay đổi, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác . MNPQ

Câu V. (2 điểm) Cho dãy số   nu xác định bởi

1

* 1

1 . 4 3. 6 4 , n n n

u

u u n 

         Tìm số hạng tổng quát nu

và tính giới hạn . l m .4 i n

n n u n 

........................HẾT.....................

Họ và tên thí sinh………………………………………………… Số báo danh……………………...........

Chữ ký cán bộ coi thi số 1………………………… Chữ ký cán bộ coi thi số 2……………………………

ĐỀCHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH

LỚP 10, LỚP 11 NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN 11 Ngày thi: 28/3/2024 HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội Dung Điểm I (4,0đ)

1) Tìm số nghiệm của phương trình … 2,0 5 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 cos2 3sin 1 2sin

x x x

x x x

                    

0,5

 

2 1 2sin sin 1 0

sin 2sin 1 0

x x

x x

  

   0,5

sin 0

2 ( ). 1 6 sin 2 5 2 6

x k x

x k k x

x k

                       

 0,5

Với     0;3 0 3 1;2 ;2 x k k k x         

 

 

13 2 0;3 0;1 ; 6 6 6

5 5 17 2 0;3 0;1 ; 6 6 6

x k k x

x k k x

                             

Vậy phương trình có 6 nghiệm thuộc   0;3 . 

0,5

2) Cho tam giác . ABC Chứng minh cos cos cos 1 . tan sin sin sin 2 A B C C A B C     

2,0

Ta có cos cos cos 1 A B C    2cos cos cos 1 2 2 A B A B C      

2 2sin cos 2 n 2 2 si 2 A C B C     2sin cos sin 2 2 2 C A B C         

. 2sin cos cos 4sin sin sin 2 2 2 2 2 2 C A B A B A B C           

1,0

Lại có sin sin sin A B C   2sin cos sin 2 2 A B A B C    

2cos cos 2cos sin 2 2 2 2 C A B C C      2cos cos sin 2 2 2 C A B C         

0,5