Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO

(Đề thi gồm 02 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2023 – 2024 MÔN THI: TOÁN; LỚP 11 Thời gian làm bài: 120 phút; không kể thời gian giao đề

Câu I (4,0 điểm).

1) Cho hàm số 2 3 y ax bx a = + + − có đồ thị là parabol ( ) P như hình vẽ dưới đây. Biết rằng 2 OB OA = và

I là đỉnh của ( ) P . Tìm ,a b .

2) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 0 1 2 2 2 2 ... 2 243 n n n n n n C C C C + + + + = . Tìm số hạng không chứa x trong

khai triển của biểu thức 2 3 2 , 0

n x x x   − ≠    

.

Câu II (4,0 điểm)

1) Theo dõi huyết áp của một người trong khoảng thời gian 1 phút, người ta nhận thấy huyết áp của người đó tại thời điểm t (giây), lấy gốc thời gian là lúc bắt đầu đo, được tính theo công thức:

( ) 7 100 20sin ,0 60 3 P t t t π   = + ≤≤    

,

ở đây ( ) P t tính theo đơn vị milimét thủy ngân, ký hiệu là mmHg . Hỏi trong khoảng thời gian 15 (giây)

đầu tiên có bao nhiêu lần huyết áp của người đó đạt mức ( ) 105 mmHg ?

2) Cho hàm số ( ) 3

2

1 , khi 1 2 1 1 2 1,khi 1

x x f x x mx mx x

 − >  = −−   + − ≤ 

. Tìm m để hàm số ??(??) liên tục trên .

Câu III (4,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ ??????, cho hai đường thẳng 1 : 1 0 d x y − −= , 2 :3 4 2 0 d x y + + = và điểm ( ) 1;1 A .

Viết phương trình đường tròn ( ) C có tâm thuộc 1d ; đi qua A và tiếp xúc với 2 d .

2) Cho 2 3 log 6 ,log 5 a b = = . Tính log108 theo a và b .

Câu IV(5,0 điểm)

1) Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên thuộc đoạn [ ] 1;13 . Tính xác suất để hai số được chọn có tổng là một số

chẵn hoặc có tổng là một số chia hết cho 3.

x

y

1

2

I

A B O

2) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ) ABCD trùng với trung điểm H của AB . Gọi M là trung điểm của

SB . a) Chứng minh rằng AM vuông góc với mặt phẳng ( ) SBC .

b) Trong mặt phẳng ( ) ABCD dựng đường thẳng d qua B và vuông góc với SC , đường thẳng d cắt

đường thẳng CD tại N . Tính độ dài đoạn thẳng AN theo a .

Câu V(3,0 điểm)

1) Cho hình chóp .S ABC có 1 SA SB SC = = = . Gọi M là trung điểm của BC , N là trung điểm của AM ; I là trung điểm của SN . Một mặt phẳng ( ) α di động luôn đi qua I cắt các cạnh , , SA SB SC lần lượt tại

, , A B C ′ ′ ′ . Chứng minh rằng biểu thức 1 1 1 T SA SB SC = + + ′ ′ ′ có giá trị không đổi.

2) Cho dãy số ( ) nu xác định bởi:

1

2 * 1 3 2

5

1 2 , 2 3 2 n n

u

n n u u n n n n +

=  + − = + ∀∈  + +  

. Tìm công thức của số hạng tổng quát

của dãy số ( ) nu .

……… Hết ………

Ghi chú: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Họ và tên thí sinh: ……………………………………. Số báo danh: ……………………………………………