Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2023-2024

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2024-2025

Khóa ngày 02 tháng 4 năm 2024

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

BÀI THI THỨ NHẤT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 04 câu. Câu 1 (2,5 điểm): Giải các phương trình sau:

a) ( ) 2 5sin 2 3 1 sin .tan x x x − = − .

b) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = − .

Câu 2 (2,5 điểm):

a) Cho dãy số ( ) nu thoả mãn ( )

1

2

1 2

2024

3 , 1 3 1

n n n n

u

u u u n u +

=   +  = ∀≥  + 

. Chứng minh rằng dãy số ( ) nu

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và ,a b là hai số thực tùy ý mà 0 ab > . Chứng

minh rằng tồn tại số thực α thỏa mãn (2023) (2024) ( ) ( ) 0 af bf a b f α + − + = .

Câu 3 (1,5 điểm): Một mật khẩu thẻ của ngân hàng X là một dãy gồm 6 chữ số.

a) Có bao nhiêu mật khẩu thẻ của ngân hàng X có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 6 và chữ số 8.

b) Tính số mật khẩu thẻ của ngân hàng X có tổng 6 chữ số bằng 16. Câu 4 (3,5 điểm):

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ' C là trung điểm của , SC M là điểm thuộc cạnh SA, điểm N di động trên cạnh đáy BC ( N khác , B C ).

a) Gọi 1 2 , G G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ∆ và SBC ∆ . Chứng minh rằng

1 2 G G song song với mặt phẳng ( ). SAB

b) Mặt phẳng ( ) α chứa ' C M cắt các cạnh , SB SD lần lượt tại , . B D ′ ′ Xác định vị trí

của điểm M để 2024. ' ' SB SD SB SD + =

c) Mặt phẳng ( ) β đi qua N đồng thời song song với hai đường thẳng SB và . AC Xác

định đa giác tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng ( ) β với các mặt của hình chóp .S ABCD và

tìm vị trí của điểm N để đa giác đó có diện tích lớn nhất.

-------------hÕt-------------

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 NĂM HỌC 2023-2024

VÀ CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM HỌC 2024-2025

Khóa ngày 02 tháng 4 năm 2024

Môn thi: TOÁN

BÀI THI THỨ NHẤT Đáp án này gồm có 06 trang YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình ở phần nào thì cho điểm 0 ở phần đó. * Điểm thành phần của mỗi câu được chia đến 0,25 điểm. Đối với những phần được chia đến 0,5 điểm thì tổ giám khảo thống nhất để chia đến 0,25 điểm. * Học sinh có cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ. * Điểm của toàn bài là tổng điểm (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm Câu 1a a) Giải các phương trình ( ) 2 5sin 2 3 1 sin .tan x x x − = − . 1,25

Đk: ( ) cos 0 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈.

Ta có ( ) ( )

2 2 2 sin 5sin 2 3 1 sin .tan 5sin 2 3 1 sin .cos x x x x x x x − = − ⇔ − = −

0,50

2 2 sin 5sin 2 3 2sin 3sin 2 0 (2sin 1)(sin 2) 0 1 sin x x x x x x x ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − + = + 0,25

( )

( ) 1 2 sin 1 6 2 sin 5 2 sin 2 2 6

x k x x k x VN x k

π π

π π

  = +  =  ⇔ ⇔ = ⇔ ∈    = − = +  

. 0,25

Vậy ( ) 5 2 ; 2 6 6 x k x k k π π π π = + = + ∈. 0,25

Câu 1b b) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = − . 1,25

Đk: 1 5; 1 x x −< < ≠.

Ta có ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 1 log 1 log 1 log 5 2 x x x − + + = −