Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2023 - 2024 sở GDĐT Thái Nguyên

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian phát đề

Bài 1 (5 điểm).

a. Giải phương trình

2 sin5 2sin 1 x x  .

b. Cho cấp số nhân ( ) n u với số hạng đầu  1 3 u và công bội 2;1 q     . Tính giá trị

của biểu thức 11 3 87 2 S u u q    khi 1 2 3 1 3 u u u   đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2 (4 điểm).

a. Tính   3 2 3 lim 2 8 x x x x    .

b. Giải phương trình         

2 2 2 4 3 7 6 2 3 9 2024 2024 2024 1. x x x x x x

Bài 3 (2 điểm). Cho tập hợp   1; 2; 3; 4; 5 . A  Gọi B là tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp . A Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp . B Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.

Bài 4 (2 điểm). Cho tam giác ABC có đỉnh (1;2), A đường trung tuyến BM có phương trình 2 1 0 x y   và đường phân giác trong CD có phương trình 1 0 x y   . Viết phương trình đường thẳng BC . Bài 5 (4 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên cạnh SC (  M S và  M C ), ( )  là mặt phẳng qua AM và song song với . BD

a. Tìm các giao tuyến của mặt phẳng ( )  với các mặt phẳng ( ) ABCD , ( ) SBD .

b. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của mặt phẳng ( )  với SB và SD . Chứng minh

rằng SB SD SC SH SK SM   có giá trị không đổi.

Bài 6 (1 điểm). Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn:

    2 ) ) ( ) ( ( f xf x f y f f x y    với mọi số thực , . x y

Bài 7 (2 điểm). Một câu lạc bộ có 41 thành viên, mỗi người quen với ít nhất 21 người khác (trong đó quan hệ quen biết là hai chiều).

a. Chứng minh rằng tồn tại 3 thành viên đôi một quen nhau.

b. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thành viên có số người quen là số chẵn.

c. Hỏi có thể xảy ra trường hợp 3 thành viên bất kỳ trong câu lạc bộ đều có không quá 5người quen chung hay không?

-------- Hết -------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên.......................................................................................SBD........................

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút, không kể thời gian phát đề

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN

I. Hướng dẫn chung

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.

II. Đáp án và thang điểm

Bài Nội dung Điểm

Bài 1

(5đ)

a. Giải phương trình 2 sin5 2sin 1 x x  . 3.0

2 sin5 2sin 1 sin5 cos2 x x x x    

0.5

sin5 sin 2 2 x x          

0.5

5 2 2 2

5 2 2 2

x x k

x x k

 

  

     

     

0.5

3 2 2 3 7 2 2

x k

x k

 

 

    

   

0.5

 

2 6 3 . 3 2 14 7

k x

k k x

 

 

         

 0.5

Phương trình đã cho có các nghiệm là:

  2 3 2 , . 6 3 14 7 k k x x k          0.5

b. Cho cấp số nhân ( ) n u với số hạng đầu 1 3 u  và công bội   2;1 q .

Tính giá trị của biểu thức 11 3 87 2 S u u q    khi 1 2 3 1 3 u u u   đạt giá trị

lớn nhất.

2.0