Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2023 - 2024 trường THPT Tiên Lãng - Hải Phòng

1

SỞ GD&ĐT HẢI PHÒNG TRƯỜNG THPT TIÊN LÃNG

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.

Ngày thi: 20/04/2024 (Đề thi gồm 07 câu; 02 trang)

Câu 1:(1,0 điểm)

Cho hàm số 3 2 x y x

   có đồ thị  C . Chứng minh rằng đường thẳng 1 : 2 d y x m   luôn cắt

đồ thị  C tại hai điểm , A B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB .

Câu 2:(2,0 điểm)

1. Cho các số thực dương , , a b c lớn hơn 1, đặt log log , log log a b b c x b a y c b     và

log log c a z a c   . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 x y z xyz    .

2. Có bao nhiêu bộ   ;x y với ,x y nguyên và 1 , 2023 x y   thỏa mãn:

    3 2 2 2 1 2 4 8 log 2 3 6 log 2 3 y x xy x y x y xy y x

                                 

?

Câu 3:(2,0 điểm)

1. Giải phương trình:   2 4 cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sin x x x x x     .

2. Giải hệ phương trình :  

3 2 3 3 4 2

4 6 1 7 4 1

x x x y y

x x x y

            

.

Câu 4:(2,0 điểm)

Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a , tam giác SAB vuông tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

1. Chứng minh rằng:   SA SBC  .

2. Biết góc giữa SD và mặt phẳng   SAB bằng 0 60 . Tính khoảng cách từ điểm C đến   SBD

Câu 5:(1,0 điểm)

Trong một hộp kín đựng 2024 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 2024. Lấy ngẫu nhiên

ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập

thành một cấp số cộng.

Câu 6:(1,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I . Gọi M N J , , lần lượt

là trung điểm các đoạn thẳng , , AI CD BN . Biết phương trình đường thẳng MJ là y   2 7 0

và   N 5;6 . Biết đỉnh C có hoành độ lớn hơn 3 . Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD .

ĐỀCHÍNH THỨC

2

Câu 7:(1,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    3 12 4 3 2 3 2 3

b c b c a c T a b a c

       .

-----------------------HẾT-------------------------

1

TRƯỜNG THPT TIÊN LÃNG

TỔ TOÁN-VP

HD ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.

Ngày thi: 20/04/2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm có 06 trang)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

1

Cho hàm số 3 2 x y x

   có đồ thị  C . Chứng minh rằng đường thẳng 1 : 2 d y x m  

luôn cắt đồ thị  C tại hai điểm , A B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng

AB .

1,0

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và d là

3 1 2 2 x x m x

   

2 2 4 6 0 2 x mx m x

       

 2 2 4 6 0 1 x mx m     

(Vì 2 x  không là nghiệm của phương trình  1 với mọi m ).

0,25

Ta có  

2 2 ' 4 6 2 2 0, m m m m         .

Suy ra phương trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x với mọim hay

đường thẳng d luôn cắt đồ thị  C tại hai điểm , A B phân biệt.

0,25

Gọi 1 1 1 ; 2 A x x m           

, 2 2 1 ; 2 B x x m           

.

Suy ra  

2 2

2 1 2 1 2 1 1 1 5 2 2 2 AB x x x m x m x x                  

  2 5 2 ' . 5 4 6 2 1 m m     

0,25

 

2 5 2 10 10, m m      .

Đẳng thức xảy ra khi 2 m . Vậy min 10 AB  .

0,25

2.1

Cho các số thực dương , , a b c lớn hơn 1, đặt log log , log log a b b c x b a y c b     và

log log c a z a c   . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 x y z xyz    1,0

Ta có:     log log log log log log c b a c b a xyz b c c a a b    

           

2 2 2 2 2 2 log log log log log log 2 a a b c c b b c c b a a       

0,5

     

2 2 2 2 2 2 log log log log log log c b a c b a x y z b c c a a b        

           

2 2 2 2 2 2 log log log log log log 6 a a b c c b b c c b a a       

Từ  1 và  2 suy ra: 2 2 2 4 x y z xyz     .

0,5