Giải Bài 8.15 trang 48 SBT Toán 9

Lời giải

## a) Mô tả không gian mẫu

Kí hiệu ba bức thư gửi cho An, Bình, Cường lần lượt là $a,\,b,\,c$ và ba phong bì (ghi đúng tên, địa chỉ) lần lượt là $A,\,B,\,C$ (phong bì $A$ dành cho An, …). Một kết quả của phép thử là một cách xếp ba bức thư vào ba phong bì theo thứ tự $(A,B,C)$.

Vì có $3$ bức thư xếp vào $3$ phong bì nên số cách xếp là $3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6$. Không gian mẫu gồm $6$ kết quả đồng khả năng:

$$\Omega=\{(a,b,c),\,(a,c,b),\,(b,a,c),\,(c,b,a),\,(b,c,a),\,(c,a,b)\}.$$

Trong mỗi bộ, chữ cái ở vị trí thứ nhất là thư bỏ vào phong bì $A$, thứ hai vào $B$, thứ ba vào $C$. Một bức thư “đúng địa chỉ” khi chữ in thường trùng chữ in hoa của phong bì (tức $a$ ở vị trí 1, $b$ ở vị trí 2, $c$ ở vị trí 3).

Vậy $n(\Omega)=6$, các kết quả đồng khả năng.

##

b) Tính xác suất các biến cố

Xét từng kết quả xem bao nhiêu bức thư đúng địa chỉ:

| Kết quả $(A,B,C)$ | Số thư đúng |
|---|---|
| $(a,b,c)$ | $3$ |
| $(a,c,b)$ | $1$ (chỉ $a$) |
| $(b,a,c)$ | $1$ (chỉ $c$) |
| $(c,b,a)$ | $1$ (chỉ $b$) |
| $(b,c,a)$ | $0$ |
| $(c,a,b)$ | $0$ |

*Nhận xét:* không thể có đúng hai bức thư đúng địa chỉ, vì khi hai bức đã đúng thì bức còn lại buộc phải đúng nốt.

Biến cố $E$ — “Có đúng một bức thư đúng địa chỉ”: gồm $(a,c,b),\,(b,a,c),\,(c,b,a)$, nên $n(E)=3$.
$$P(E)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.$$

Biến cố $F$ — “Cả ba bức thư đúng địa chỉ”: chỉ gồm $(a,b,c)$, nên $n(F)=1$.
$$P(F)=\dfrac{1}{6}.$$

Biến cố $G$ — “Không có bức thư nào đúng địa chỉ”: gồm $(b,c,a),\,(c,a,b)$, nên $n(G)=2$.
$$P(G)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.$$

Biến cố $H$ — “Có ít nhất một bức thư đúng địa chỉ”: $H$ là biến cố đối của $G$ (“không có bức nào đúng”), nên
$$P(H)=1-P(G)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.$$
(Kiểm tra trực tiếp: các kết quả có ít nhất một thư đúng là $4$ kết quả, $P(H)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ — khớp.)

Kiểm tra lại: tổng số kết quả theo số thư đúng là $1+3+0+2=6=n(\Omega)$ (đúng 3: 1; đúng 1: 3; đúng 2: 0; đúng 0: 2), hợp lí.

Đáp số