Giải Bài 3.16 trang 69 Chuyên đề Toán 12

Lời giải

Phân tích bài toán. Giá trị hiện tại của niên kim là số tiền cần gửi ngay bây giờ (vốn) để về sau có thể rút đều đặn mỗi kì một khoản $R$ trong $n$ kì với lãi suất mỗi kì là $i$.

Lãi suất năm là $6\%$ nên lãi suất mỗi tháng là:
$$i=\frac{6\%}{12}=0,5\%=0,005.$$
Mỗi tháng rút $R=5$ (triệu đồng), rút trong $n=48$ tháng.

Lập giá trị hiện tại. Khoản rút ở cuối tháng thứ $k$ có giá trị hiện tại (quy về thời điểm hiện tại bằng cách chiết khấu) là $\dfrac{R}{(1+i)^{k}}$. Do đó giá trị hiện tại của cả niên kim là:
$$A=\frac{R}{1+i}+\frac{R}{(1+i)^2}+\cdots+\frac{R}{(1+i)^{48}}.$$

Đây là tổng của $48$ số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=\dfrac{R}{1+i}$ và công bội $q=\dfrac{1}{1+i}$. Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu:
$$A=u_1\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}=\frac{R}{1+i}\cdot\frac{1-\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^{48}}{1-\dfrac{1}{1+i}}=R\cdot\frac{1-(1+i)^{-48}}{i}.$$

Thay số.
$$A=5\cdot\frac{1-(1{,}005)^{-48}}{0{,}005}.$$
Ta có $(1{,}005)^{48}\approx 1{,}270489$, suy ra $(1{,}005)^{-48}\approx 0{,}787098$. Do đó:
$$A=5\cdot\frac{1-0{,}787098}{0{,}005}=5\cdot\frac{0{,}212902}{0{,}005}=5\cdot 42{,}5804\approx 212{,}9\ \text{(triệu đồng)}.$$

Kiểm tra lại. Nhân ngược: $A\cdot i=212{,}9\cdot 0{,}005\approx 1{,}0645$ và $R\big(1-(1{,}005)^{-48}\big)=5\cdot0{,}212902\approx1{,}0645$ — khớp. Vậy đáp số hợp lí.

Kết luận. Giá trị hiện tại của niên kim là:
$$A\approx 212{,}9\ \text{triệu đồng}\ (\approx 212\,901\,600\ \text{đồng}).$$

Đáp số