THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị; kỳ thi được diễn ra vào thứ Tư ngày 15 tháng 03 năm 2023. Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Trị : + Cho a, b, c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau, có ít nhất một phương trình có nghiệm: x² – 2ax + bc + 1 = 0, x² – 2bx + ca + 1 = 0, x² – 2cx + ab + 1 = 0. Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 2×2 − y2 = 1. Chứng minh xy(x2 − y2) chia hết cho 40. + Một giải cầu lông có n (n ≥ 2) vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, không có kết quả hòa). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau. + Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), AD là đường cao (D thuộc BC). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AB. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. b) Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A). Chứng minh MD là phân giác của góc FMC. c) Chứng minh đường thẳng MD, đường trung trực của BC và đường trung trực của EF đồng quy.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Trung học Cơ sở năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh; kỳ thi được diễn ra vào thứ Ba ngày 14 tháng 03 năm 2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Ninh : + Với n là số nguyên, chứng minh rằng giá trị của biểu thức A = 3n3 – 3n2 + n + 1 không chia hết cho 125. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố (p; q; r) thỏa mãn (p2 + 1)(q2 + 3) = r2 + 21. + Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi (I) là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C. Đường trung tuyến AD của tam giác ABC cắt đường tròn (I) tại M (M khác A). Đường thẳng BM cắt AC và đường tròn (O) lần lượt tại H và F (F khác B). Đường thẳng CM cắt AB và đường tròn (O) lần lượt tại K và E (E khác C). a) Chứng minh DBM đồng dạng DAB. b) Chứng minh AKMH là tứ giác nội tiếp. c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (I) tại Q (Q khác M). Chứng minh đường thẳng AF đi qua trung điểm của đoạn thẳng CQ. + Một phố nhỏ có 44 người trong độ tuổi từ 1 đến 85 (tuổi của mỗi người là một số nguyên dương). Chứng minh rằng trong số những người trên có hai người cùng tuổi hoặc có ba người mà tuổi của một người bằng tổng số tuổi của hai người kia.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh, đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm; kỳ thi được diễn ra vào thứ Ba ngày 14 tháng 03 năm 2023. Trích dẫn đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh : + Cho phương trình x3 + mx2 – x + m – m2 = 0 (*) với tham số m. a) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có một nghiệm x = 1 – m với mọi giá trị của tham số m. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho x1² + x2² + x3² = 3. + Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD; AM là đường kính của đường tròn (O); K là hình chiếu của B lên AM. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BD và CM. a) Chứng minh rằng DK vuông góc AC. b) Chứng minh rằng AEFC là tứ giác nội tiếp. c) Gọi H là trực tâm của tam giác AEC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFC. Chứng minh rằng HE = 2IO. + Tìm tất cả các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho p^x = y^4 + 64.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Trung học Cơ sở năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Sơn La; kỳ thi được diễn ra vào thứ Bảy ngày 11 tháng 03 năm 2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Sơn La : + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình y = 2x − a2 và parabol (P) có phương trình: y = ax2 (a > 0). a) Tìm a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung. b) Gọi xA, xB là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = 4/(xA + xB) + 1/xA.xB. + Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi BD và CE là hai đường cao của ABC. Gọi R là giao điểm của BD với (O) (R khác điểm B), S là giao điểm của CE với (O) (S khác điểm C). Tia AO cắt BC tại M và cắt cung nhỏ BC tại N. Tia BO cắt AC tại P. Tia CO cắt AB tại F. a) Chứng minh: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. b) Chứng minh: DE // SR và AN là tia phân giác của góc SAR. c) Chứng minh: MB.MC/MA2 + PC.PA/PB2 + FA.FB/FC2 = 1 + Xét 100 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, …, 100. Gọi A là số thu được bằng cách sắp một cách tùy ý 100 số đó thành một dãy, B là số thu được bằng cách đặt một cách tùy ý các dấu cộng vào giữa các chữ số của A. Chứng minh rằng cả A và B cùng không chia hết cho 2046.